https://maxi.wemo.me/ を更新していたのですがビンまとめの式のよい参照先が見つからなかったためここで導出します。
測定結果をまとめた量 #link
ある量x$$x$$の測定結果がN$$N$$回分あり、それぞれの測定の精度（分散）σ2$$\sigma^{2}$$が得られているとします。
x1,x2,...,xNσx12,σx22,...,σxN2
\begin{align}
x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}\quad
\sigma_{x_{1}}^{2}, \sigma_{x_{2}}^{2}, ..., \sigma_{x_{N}}^{2}
\end{align}
xi$$x_{i}$$の加重平均 u$$u$$ がほしいとします。
u=∑i=1Nai∑i=1Naixi
\begin{align}
u&=\frac{\sum_{i=1}^{N}a_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{N}a_{i}}
\end{align}
このときu$$u$$の誤差（分散）が最小になるai$$a_{i}$$を導出します。
まず、あるai$$a_{i}$$の組み合わせでσu2$$\sigma_{u}^{2}$$が最小になっているなら、そこからai$$a_{i}$$の値がずれるとσu2$$\sigma_{u}^{2}$$は大きくなります。これはσu2$$\sigma_{u}^{2}$$がそのai$$a_{i}$$の組み合わせで極値をとっているということです。
∀i∈{1,2,...,N}:∂ai∂σu2=0
\begin{align}
\forall i \in \{1, 2, ..., N\}: \frac{\partial\sigma_{u}^{2}}{\partial a_{i}}&=0
\end{align}
次に、u$$u$$の誤差伝播の式は次のようになります。
σu2=i=1∑N(∂xi∂u)2σxi2
\begin{align}
\sigma_{u}^{2}&=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)^{2}\sigma_{x_{i}}^{2}
\end{align}
u$$u$$の微分は(2)$$(2)$$を使って計算できます。
∂xi∂u=(2)∂xi∂∑j=1Naj∑j=1Najxj=∑j=1Najai
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x_{i}}
&\overset{(2)}{=}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{\sum_{j=1}^{N}a_{j}x_{j}}{\sum_{j=1}^{N}a_{j}}\\
&=\frac{a_{i}}{\sum_{j=1}^{N}a_{j}}
\end{align}
すると(4)$$(4)$$は次のようになります。
σu2=i=1∑N(∂xi∂u)2σxi2=(6)(∑i=1Nai)2∑i=1Nai2σxi2
\begin{align}
\sigma_{u}^{2}
&=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)^{2}\sigma_{x_{i}}^{2}
\overset{(6)}{=}\frac{\sum_{i=1}^{N}a_{i}^{2}\sigma_{x_{i}}^{2}}{\left(\sum_{i=1}^{N}a_{i}\right)^{2}}
\end{align}
これを極値の条件(3)$$(3)$$に代入します。
∂ai∂(∑j=1Naj)2∑j=1Naj2σxj2∂ai∂(j=1∑Naj2σxj2)(j=1∑Naj)−2=0=0
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial a_{i}}\frac{\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}}{\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{2}}&=0\\
\frac{\partial}{\partial a_{i}}\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}\right)\!\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-2}&=0
\end{align}
このまま計算すると横幅が足りないので以下のf,g$$f, g$$を定義します。
f(a1,a2,...,aN)g(a1,a2,...,aN)=j=1∑Naj2σxj2=(j=1∑Naj)−2
\begin{align}
f(a_{1},a_{2},...,a_{N})&=\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}\\
g(a_{1},a_{2},...,a_{N})&=\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-2}
\end{align}
それぞれ微分を計算します。
∂ai∂f∂ai∂g=∂ai∂j=1∑Naj2σxj2=2aiσxi2=∂ai∂(j=1∑Naj)−2=−2(j=1∑Naj)−3∂ai∂j=1∑Naj=−2(j=1∑Naj)−3
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial a_{i}}
&=\frac{\partial}{\partial a_{i}}\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}\\
&=2a_{i}\sigma_{x_{i}}^{2}\\
\frac{\partial g}{\partial a_{i}}
&=\frac{\partial}{\partial a_{i}}\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-2}\\
&=-2\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-3}\frac{\partial}{\partial a_{i}}\sum_{j=1}^{N}a_{j}\\
&=-2\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-3}
\end{align}
(9)$$(9)$$の続きを計算します。
∂ai∂f⋅g(∂ai∂f)g+f(∂ai∂g)(2aiσxi2)(j=1∑Naj)−2−2(j=1∑Naj2σxj2)(j=1∑Naj)−32(j=1∑Naj)−3(aiσxi2j=1∑Naj−j=1∑Naj2σxj2)aiσxi2j=1∑Naj−j=1∑Naj2σxj2=0=0=0=0=0
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial a_{i}}f\cdot g&=0\\
\left(\frac{\partial f}{\partial a_{i}}\right)g
+f\left(\frac{\partial g}{\partial a_{i}}\right)&=0\\
\left(2a_{i}\sigma_{x_{i}}^{2}\right)\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-2}
\!\!\!\!-2\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}\right)\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-3}&=0\\
2\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{-3}\left(a_{i}\sigma_{x_{i}}^{2}\sum_{j=1}^{N}a_{j}
-\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}\right)&=0\\
a_{i}\sigma_{x_{i}}^{2}\sum_{j=1}^{N}a_{j}-\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}&=0
\end{align}
(21)$$(21)$$をai$$a_{i}$$について整理します。
ai=σxi21∑j=1Naj∑j=1Naj2σxj2
\begin{align}
a_{i}&=\frac{1}{\sigma_{x_{i}}^{2}}\frac{\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}}{\sum_{j=1}^{N}a_{j}}
\end{align}
両辺をi=1,2,...,N$$i=1,2,...,N$$について足し、∑j=1Naj2σxj2$$\textstyle\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}$$について整理します。
i=1∑Naij=1∑Naj2σxj2=i=1∑Nσxi21∑j=1Naj∑j=1Naj2σxj2=(j=1∑Naj)2(j=1∑Nσxj21)−1
\begin{align}
\sum_{i=1}^{N}a_{i}&=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{\sigma_{x_{i}}^{2}}\frac{\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}}{\sum_{j=1}^{N}a_{j}}\\
\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2}\sigma_{x_{j}}^{2}&=\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)^{2}\left(\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sigma_{x_{j}}^{2}}\right)^{-1}
\end{align}
(24)$$(24)$$を(22)$$(22)$$に代入します。
ai=(24)σxi21(j=1∑Naj)(j=1∑Nσxj21)−1
\begin{align}
a_{i}&\overset{(24)}{=}\frac{1}{\sigma_{x_{i}}^{2}}\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)\left(\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sigma_{x_{j}}^{2}}\right)^{-1}
\end{align}
(24)$$(24)$$を(7)$$(7)$$に代入します。
σu2=(∑i=1Nai)2∑i=1Nai2σxi2=(24)(j=1∑Nσxj21)−1
\begin{align}
\sigma_{u}^{2}
&=\frac{\sum_{i=1}^{N}a_{i}^{2}\sigma_{x_{i}}^{2}}{\left(\sum_{i=1}^{N}a_{i}\right)^{2}}
\overset{(24)}{=}\left(\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sigma_{x_{j}}^{2}}\right)^{-1}
\end{align}
ある量x$$x$$の複数回の測定結果xi$$x_{i}$$とその分散σxi2$$\sigma_{x_{i}}^{2}$$が得られており、その加重平均
u=∑i=1Nai∑i=1Naixi
\begin{align}
u&=\frac{\sum_{i=1}^{N}a_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{N}a_{i}}
\end{align}
の誤差（分散）が最小になるai$$a_{i}$$とそのときの分散σu2$$\sigma_{u}^{2}$$は次の式で表されます。
aiσu2=σxi21(j=1∑Naj)(j=1∑Nσxj21)−1=(j=1∑Nσxj21)−1
\begin{align}
a_{i}&=\frac{1}{\sigma_{x_{i}}^{2}}\left(\sum_{j=1}^{N}a_{j}\right)\left(\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sigma_{x_{j}}^{2}}\right)^{-1}\\
\sigma_{u}^{2}
&=\left(\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{\sigma_{x_{j}}^{2}}\right)^{-1}
\end{align}